在 FIR 濾波器的頻率響應(yīng)中，過(guò)渡帶是非常重要的一個(gè)概念。過(guò)渡帶指的是通帶到阻帶之間的區(qū)域，即從信號(hào)完全通過(guò)的頻率區(qū)間到信號(hào)完全被抑制的頻率區(qū)間之間的過(guò)渡區(qū)。FIR 濾波器的實(shí)際頻率響應(yīng)并非簡(jiǎn)單的在每個(gè)分辨點(diǎn)上產(chǎn)生陡峭的變化。相反，濾波器的頻率響應(yīng)通常會(huì)在過(guò)渡帶內(nèi)逐漸過(guò)渡，尤其是在通帶和阻帶之間的過(guò)渡區(qū)。

由于 FIR 濾波器并不能像理想濾波器那樣突然切換（即從 0 到 -∞），因此在過(guò)渡帶中，濾波器的增益會(huì)逐漸下降。這種過(guò)渡區(qū)的寬度與窗函數(shù)的選擇密切相關(guān)。窗函數(shù)的主瓣寬度決定了過(guò)渡帶的寬度。窗函數(shù)的主瓣越寬，過(guò)渡帶就越寬，如果過(guò)渡帶過(guò)于窄，濾波器將無(wú)法實(shí)現(xiàn)理想的通帶和阻帶響應(yīng)，導(dǎo)致性能下降。

三、為什么頻率分辨率乘以3？

這里就是我們討論的關(guān)鍵：FIR 濾波器的頻率響應(yīng)受到窗函數(shù)的影響，而窗函數(shù)的 主瓣寬度直接決定了濾波器的過(guò)渡帶寬度。不同窗函數(shù)的主瓣寬度通常是頻率分辨率的倍數(shù)，這段寬度決定了濾波器無(wú)法“比它更窄”地分辨頻率，換句話說(shuō)，它就是濾波器過(guò)渡帶的下限。

例如，使用矩形窗時(shí)，主瓣寬度大約是 2倍的Δf（頻率分辨率），而漢寧窗和漢明窗的主瓣寬度約為4倍的Δf（頻率分辨率），這就決定了過(guò)渡帶的寬度，影響濾波器的有效頻率范圍。目前大部分常見(jiàn)窗函數(shù)的主瓣寬度大約是頻率分辨率的 2 到 4 倍。這個(gè)乘數(shù)可以確保濾波器的實(shí)際性能更接近需求，而不會(huì)過(guò)度樂(lè)觀地設(shè)計(jì)過(guò)于窄的過(guò)渡帶。

基于這些情況，項(xiàng)目實(shí)踐中，工程師通常會(huì)發(fā)現(xiàn) 3倍的頻率分辨率是一個(gè)較為保守且實(shí)際可行的估算值。這意味著，盡管理論上頻率分辨率為 Δf，但實(shí)際的有效控制范圍往往需要 乘以 3 才能確保濾波器能夠有效工作，特別是低頻部分，在對(duì)數(shù)坐標(biāo)體系下由于頻率較疏，低頻的過(guò)渡帶寬度通常較大，因此它們的處理能力較差，當(dāng)濾波器階數(shù)不夠高時(shí)，低頻信號(hào)的響應(yīng)可能會(huì)出現(xiàn)明顯的波動(dòng)和失真。

還是上面那個(gè)例子：48 kHz 采樣率，1024 階 FIR。

??理論分辨率：Δf=46.9 Hz

??乘以 3 后：FIR作用下限頻率約 140 Hz

      四、總結(jié)

      對(duì)工程師而言，FIR 濾波器作用下限 ≈ 頻率分辨率 × 3，是一個(gè)非常實(shí)用的經(jīng)驗(yàn)法則。它基于窗函數(shù)主瓣寬度與過(guò)渡帶的特性，幫助我們更真實(shí)地估計(jì)濾波器的低頻控制能力。諦聽(tīng)聲學(xué)仿真測(cè)量軟件正是基于這一規(guī)律，在自動(dòng) FIR 功能中根據(jù)抽頭數(shù)給出合理的最低下限頻率，幫助工程師們快速判斷濾波器最低有效可控頻率，減少不必要的復(fù)雜計(jì)算，讓濾波器在實(shí)際應(yīng)用中達(dá)到最佳效果。